Công thức tính thể tích tứ diện

Bài viết này ungkirke.com tổng hòa hợp cùng giới thiệu lại một số bí quyết tính nhanh khô thể tích của khối hận tứ đọng diện đến một số trong những trường vừa lòng quan trọng đặc biệt giỏi gặp

https://www.ungkirke.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

Đồng thời trình diễn bí quyết tổng quát tính thể tích đến kăn năn tứ đọng diện bất kì khi biết độ lâu năm tất cả 6 cạnh của tứ đọng diện. Việc ghi ghi nhớ các cách làm này giúp các em giải quyết và xử lý nkhô hanh một số dạng bài xích nặng nề về thể tích kăn năn tứ diện vào đề thi THPT Quốc Gia 2019 - Môn Toán.

Bạn đang xem: Công thức tính thể tích tứ diện

Bài viết này trích lược một số bí quyết nhanh khô xuất xắc cần sử dụng đến khối tđọng diện. Các công thức nkhô hanh không giống liên quan mang lại thể tích khối tđọng diện cùng thể tích khối hận lăng trụ bạn đọc tìm hiểu thêm khoá COMBO X vì ungkirke.com thi công tại đây:https://www.ungkirke.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

Công thức tổng quát:Khối hận tứ đọng diện $ABCD$ gồm $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta bao gồm cách làm tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh nhỏng sau: trong những số đó <eginalign & M=a^2d^2(b^2+e^2+c^2+f^2-a^2-d^2) \ & N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2) \ & P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2) \ và Q=(abc)^2+(aef)^2+(bdf)^2+(cde)^2 \ endalign>

Công thức 1: Kân hận tứ đọng diện đều

Khối hận tứ đọng diện phần nhiều cạnh $a,$ ta gồm $V=dfraca^3sqrt212.$

lấy ví dụ như 1: Cho tứ diện đều phải sở hữu chiều cao bởi . Thể tích của khối hận tứ diện vẫn mang lại là

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải.Thể tích tứ diện số đông cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$

Chiều cao tứ diện hầu hết là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312 ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$

Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32h ight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn lời giải B.

Công thức 2: Khối hận tứ diện vuông (những góc tại một đỉnh của tứ đọng diện là góc vuông)

Với tđọng diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc và $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta có $V=dfrac16abc.$

Công thức 3: Khối tứ đọng diện ngay sát mọi (các cặp cạnh đối khớp ứng bởi nhau)

Với tứ đọng diện $ABCD$ gồm $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta tất cả

*

Ví dụ 1:Chokhối hận tứ đọng diện $ABCD$gồm $AB=CD=8,AD=BC=5$ với $AC=BD=7.$ Thể tích kân hận tứ đọng diện sẽ cho bằng

A. $fracsqrt303.$

B. $frac20sqrt113.$

C. $sqrt30.$

D. $20sqrt11.$

Giải. Ta có $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn giải đáp B.

lấy ví dụ 2:Cho tđọng diện $ABCD$ tất cả $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ điện thoại tư vấn $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng cách trường đoản cú điểm $A$ cho khía cạnh phẳng $(CMD)$bằng

A. $fracsqrt312.$

B. $fracsqrt552.$

C. $fracsqrt212.$

D. $fracsqrt332.$

Giải. Ta bao gồm $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$

Tam giác $MCD$ bao gồm $CD=8$ cùng theo công thức đường trung tuyến đường ta có:

$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$

và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$

Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ Do đó $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn lời giải B.

lấy ví dụ 3:Kăn năn tđọng diện $ABCD$ có $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ có thể tích bằng

A. $sqrt95a^3.$

B. $8sqrt95a^3.$

C. $2sqrt95a^3.$

D. $4sqrt95a^3.$

Giải.Áp dụng bí quyết tính thể tích khối hận tđọng diện sát hầu như có

$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2 ight)left( 6^2+7^2-5^2 ight)left( 7^2+5^2-6^2 ight)a^3=2sqrt95a^3.$

Chọn giải đáp C.

Công thức 4: Khối hận tứ đọng diện tất cả khoảng cách với góc giữa cặp cạnh đối diện của tđọng diện

Tứ diện $ABCD$ có $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta tất cả $V=dfrac16abdsin altrộn .$

Ví dụ 1.Cho kăn năn tđọng diện $ABCD$ bao gồm $AB=AC=BD=CD=1.$ lúc thể tích kân hận tứ đọng diện $ABCD$ đạt quý hiếm lớn số 1 thì khoảng cách giữa hai tuyến phố trực tiếp $AD$ và $BC$ bằng
A. $frac2sqrt3.$ B. $frac1sqrt3.$ C. $frac1sqrt2.$ D. $frac13.$

ví dụ như 2:Cho nhì mặt cầu $(S_1),(S_2)$ bao gồm thuộc chổ chính giữa $I$ với nửa đường kính theo thứ tự $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ có nhị đỉnh $A,B$ nằm trong $(S_1);$ hai đỉnh $C,D$ nằm tại $(S_2).$ Thể tích khối hận tđọng diện $ABCD$ có mức giá trị lớn nhất bằng

A. $3sqrt2.$

B. $2sqrt3.$

C. $6sqrt3.$

D. $6sqrt2.$

Giải.gọi $a,b$ theo thứ tự là khoảng cách từ bỏ vai trung phong $I$ đến hai đường thẳng $AB,CD.$

Ta tất cả $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ cùng $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ và $sin (AB,CD)le 1.$

Do đó áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách chéo cánh nhau của cặp cạnh đối lập có:

$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 \ = frac23left( asqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 + bsqrt 10 - b^2 sqrt 4 - a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 - a^4 sqrt 10 - b^2 + sqrt frac10b^2 - b^42 sqrt 8 - 2a^2 ight) \ leqslant frac23sqrt left( 4a^2 - a^4 + 8 - 2a^2 ight)left( 10 - b^2 + frac10b^2 - b^42 ight) = frac23sqrt left( - (a^2 - 1)^2 + 9 ight)left( - frac12(b^2 - 4)^2 + 18 ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . \ endgathered $

Dấu bởi đạt tại $(a;b)=(1;2).$ Chọn lời giải D.

Ví dụ 3:Cho một hình tròn bao gồm tiết diện qua trục là 1 trong hình vuông vắn cạnh bởi $a.$ Biết rằng $AB$ cùng $CD$ là hai đường kính khớp ứng của hai lòng và góc thân hai tuyến đường thẳng $AB$ cùng $CD$ bằng $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $fraca^312.$

B. $fraca^3sqrt36.$

C. $fraca^36.$

D. $fraca^3sqrt312.$

Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn đáp án C.

Xem thêm:

Công thức 5: Kân hận tứ diện biết diện tích nhị mặt kề nhau

*

lấy ví dụ như 1: Cho kăn năn chóp $S.ABC$ tất cả đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc giữa hai khía cạnh phẳng $(SAB)$ cùng $(SAC)$ bằng $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đang mang lại bằng

A. $a^3.$

B. $fraca^33.$

C. $fraca^32.$

D. $fraca^36.$

Lời giải chi tiết. điện thoại tư vấn $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta gồm $left{ egingathered AB ot SB hfill \ AB ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill \ AC ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết phù hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân nặng trên $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

*
Đặt $h=SHRightarrow V_S.ABC=frac13S_ABC.SH=fraca^2h6(1).$

Mặt khác $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC) ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22 ight)left( fracasqrta^2+h^22 ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$

Từ (1) cùng (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ tất cả $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích kăn năn tđọng diện $ABCD$ bằng

A. $fraca^33.$

B. $a^3.$

C. $frac2a^33.$

D. $3a^3.$

Lời giải chi tiết. Gọi $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$

*

Ta có $left{ egingathered CB ot BA hfill \ CB ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ Tương tự $left{ egingathered CD ot DA hfill \ CD ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$

Kết phù hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$

Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$

Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD) ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065 ight)^2(2).$

Kết vừa lòng (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn câu trả lời B.

lấy một ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ gồm lòng là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với lòng và góc thân nhì khía cạnh phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng $60^0,$ lúc đó $SA$ bằng

A. $dfracsqrt6a4.$

B. $sqrt6a.$

C. $dfracsqrt6a2.$

D. $dfracsqrt3a2.$

Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1 ight).$

Mặt không giống $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD) ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34 ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$

Trong số đó $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$

Từ (1) với (2) suy ra Chọn câu trả lời A.

ví dụ như 4: Cho tđọng diện $ABCD$ có $ABC$ cùng $ABD$ là tam giác phần lớn cạnh bởi $a.$ Thể tích kăn năn tđọng diện $ABCD$ có mức giá trị lớn số 1 bằng

A. $dfraca^38.$

B. $dfraca^3sqrt212.$

C. $dfraca^3sqrt38.$

D. $dfraca^3sqrt312.$

Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD) ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( dfracsqrt3a^24 ight)3asin left( (ABC),(ABD) ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( fracsqrt3a^24 ight)3a=dfraca^38.$

Dấu bằng đạt trên $(ABC)ot (ABD).$ Chọn đáp án A.

Công thức 6:Mngơi nghỉ rộng cho kân hận chóp tất cả diện tích S phương diện mặt với mặt đáy

Kân hận chóp $S.A_1A_2...A_n$ tất cả $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2...A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2...A_n) ight)3A_1A_2.$

Công thức 7: Kăn năn tđọng diện lúc biết các góc trên và một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ gồm $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=altrộn ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$

khi đó $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$

*

lấy ví dụ 1:Khối tđọng diện $ABCD$ bao gồm $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải.Tứ diện này còn có độ nhiều năm tất cả những cạnh ta tính những góc trên một đỉnh rồi áp dụng phương pháp thể tích kăn năn tđọng diện dựa vào 3 góc khởi nguồn từ thuộc 1 đỉnh:

Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 \ hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 \ hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 \ endgathered ight..$

Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211 ight)^2-left( dfrac52sqrt11 ight)^2-left( dfrac1sqrt2 ight)^2=5.$

Chọn giải đáp B.

*